Γεννήθηκε στην Αθήνα και ήταν γιος του Άδωνι Κύρου, εκδότη της εφημερίδας "Εστία" και της Δανάης Κουμάνη. Από την πλευρά του πατέρα του καταγόταν από την Οικογένεια Κύρου και αδέρφια του ήταν οι Κύρος Κύρου και Αχιλλέας Κύρου.
Ακολούθησε σταδιοδρομία στο διπλωματικό σώμα εισερχόμενος σε αυτό τον Νοέμβριο του 1923. Το 1926 ανέλαβε την διεύθυνση του γραφείο του υπουργού εξωτερικών, Ανδρέα Μιχαλακόπουλου και τον Ιανουάριο του 1928 ανέλαβε πρώτος υποπρόξενος στο Γενικό Προξενείο Κωνσταντινούπολης. Τον Ιούλιο του 1930 ανέλαβε την διεύθυνση του προξενείου Λευκωσίας, τον Φεβρουάριο του 1932 ανέλαβε δεύτερος γραμματέας στην ελληνική πρεσβεία στο Βερολίνο και τον Ιανουάριο του 1937 μετατέθηκε ως γραμματέας στην ελληνική πρεσβεία στο Βελιγράδι, θέση στην οποία παρέμεινε μέχρι το 1939. Το 1947 τοποθετήθηκε αντιπρόσωπος της Ελλάδας στην επιτροπή έρευνας του Συμβουλίου Ασφαλείας και τον ίδιο χρόνο μόνιμος αντιπρόσωπος της Ελλάδας στον ΟΗΕ μέχρι το 1953 καθώς και εκπρόσωπος στο Συμβούλιο Ασφαλείας του ΟΗΕ (1952 - 1953). Το 1954 ανέλαβε γενικός διευθυντής του Υπουργείου Εξωτερικών, θέση από την οποία παραιτήθηκε τον Δεκέμβριο του 1954, και το 1956 πρέσβης της Ελλάδας στη Στοκχόλμη. Το 1964 τοποθετήθηκε πρεσβευτής στη Βόνη.
Ο Αλέξης Κύρου υπήρξε υπέρμαχος της διεθνοποίησης του Κυπριακού Ζητήματος, τακτική την οποία εφήρμοσε όταν ανέλαβε γενικός διευθυντής του Υπουργείου Εξωτερικών στην κυβέρνηση Παπάγου. Υπό την καθοδήγησή του το κυπριακό ζήτημα κατέστη γνωστό σε χώρες που η Ελλάδα δεν είχε διπλωματικές αποστολές ενώ πέτυχε την εγγραφή του κυπριακού ζητήματος στην γενική συνέλευση του ΟΗΕ.[3] Παράλληλα αντιμετώπισε αρνητικά την βρετανική πρόσκληση για τριμερή συνάντηση μεταξύ Τουρκίας, Ελλάδας και Μεγάλης Βρετανίας στο Λονδίνο.
Το βιβλίο του Ελληνική εξωτερική πολιτική τιμήθηκε το 1956 από την Ακαδημία Αθηνών.
Ακολούθησε σταδιοδρομία στο διπλωματικό σώμα εισερχόμενος σε αυτό τον Νοέμβριο του 1923. Το 1926 ανέλαβε την διεύθυνση του γραφείο του υπουργού εξωτερικών, Ανδρέα Μιχαλακόπουλου και τον Ιανουάριο του 1928 ανέλαβε πρώτος υποπρόξενος στο Γενικό Προξενείο Κωνσταντινούπολης. Τον Ιούλιο του 1930 ανέλαβε την διεύθυνση του προξενείου Λευκωσίας, τον Φεβρουάριο του 1932 ανέλαβε δεύτερος γραμματέας στην ελληνική πρεσβεία στο Βερολίνο και τον Ιανουάριο του 1937 μετατέθηκε ως γραμματέας στην ελληνική πρεσβεία στο Βελιγράδι, θέση στην οποία παρέμεινε μέχρι το 1939. Το 1947 τοποθετήθηκε αντιπρόσωπος της Ελλάδας στην επιτροπή έρευνας του Συμβουλίου Ασφαλείας και τον ίδιο χρόνο μόνιμος αντιπρόσωπος της Ελλάδας στον ΟΗΕ μέχρι το 1953 καθώς και εκπρόσωπος στο Συμβούλιο Ασφαλείας του ΟΗΕ (1952 - 1953). Το 1954 ανέλαβε γενικός διευθυντής του Υπουργείου Εξωτερικών, θέση από την οποία παραιτήθηκε τον Δεκέμβριο του 1954, και το 1956 πρέσβης της Ελλάδας στη Στοκχόλμη. Το 1964 τοποθετήθηκε πρεσβευτής στη Βόνη.
Ο Αλέξης Κύρου υπήρξε υπέρμαχος της διεθνοποίησης του Κυπριακού Ζητήματος, τακτική την οποία εφήρμοσε όταν ανέλαβε γενικός διευθυντής του Υπουργείου Εξωτερικών στην κυβέρνηση Παπάγου. Υπό την καθοδήγησή του το κυπριακό ζήτημα κατέστη γνωστό σε χώρες που η Ελλάδα δεν είχε διπλωματικές αποστολές ενώ πέτυχε την εγγραφή του κυπριακού ζητήματος στην γενική συνέλευση του ΟΗΕ.[3] Παράλληλα αντιμετώπισε αρνητικά την βρετανική πρόσκληση για τριμερή συνάντηση μεταξύ Τουρκίας, Ελλάδας και Μεγάλης Βρετανίας στο Λονδίνο.
Το βιβλίο του Ελληνική εξωτερική πολιτική τιμήθηκε το 1956 από την Ακαδημία Αθηνών.
